IMO 1974

Các vấn đề chính thức của IMO 1974  ·  5/6 đã giải quyết, 4 đã được xác minh.

#	Trạng thái	Thời gian
1	✓ đã xác minh	10 phút 39 giây
2	giải quyết	32m46s
3	✓ đã xác minh	5m13s
4	✓ đã xác minh	10 phút 53 giây
5	—	—
6	✓ đã xác minh	7m06s

Vấn đề 1   * ✓ đã xác minh* · 10m39s · Giải pháp →

Ba người chơi$A, B$Và$C$chơi trò chơi sau: Trên mỗi tấm thẻ có một số nguyên. Ba số này$p, q, r$thỏa mãn$0 < p < q < r$. Ba lá bài được xáo trộn và chia cho mỗi người chơi một lá bài. Sau đó, mỗi người sẽ nhận được số quầy được chỉ định bởi thẻ mà anh ta nắm giữ. Sau đó các lá bài lại được xáo trộn; quầy vẫn thuộc về người chơi.

Quá trình này (xào bài, chia bài, đưa ra quầy) diễn ra ít nhất hai vòng. Sau vòng cuối cùng,$A$có tất cả 20 quầy,$B$có 10 và$C$có 9. Ở vòng cuối cùng$B$đã nhận$r$quầy. Ai đã nhận$q$quầy ở vòng đầu tiên?

Vấn đề 2   đã giải quyết · 32m46s · Giải pháp →

Trong tam giác$ABC$, chứng minh rằng tồn tại một điểm$D$ở bên$AB$như vậy$CD$là trung bình hình học của$AD$Và$DB$nếu và chỉ nếu$$ \sin{A} \sin{B} \leq \sin^2 \frac{C}{2}. $$Vấn đề 3   * ✓ đã xác minh* · 5m13s · Giải pháp →

Chứng minh rằng số$\textstyle \sum_{k = 0}^n \tbinom{2n+1}{2k+1} 2^{3k}$không chia hết cho 5 với mọi số nguyên$n \geq 0$.

Vấn đề 4   * ✓ đã xác minh* · 10m53s · Giải pháp →

Hãy xem xét sự phân rã của một$8 \times 8$bàn cờ thành p hình chữ nhật không chồng lên nhau với các điều kiện sau:

(i) Mỗi hình chữ nhật có số hình vuông màu trắng bằng số hình vuông màu đen.

(ii) Nếu$a_i$là số ô vuông màu trắng trong$i$-hình chữ nhật thứ$a_1 < a_2 < \cdots < a_p$.

Tìm giá trị lớn nhất của$p$mà sự phân hủy như vậy là có thể. Đối với giá trị này của$p$, xác định tất cả các dãy có thể$a_1, a_2, \cdots, a_p$.

Vấn đề 5

Xác định tất cả các giá trị có thể có của$$ S = \frac{a}{a+b+d} + \frac{b}{a+b+c} + \frac{c}{b+c+d} + \frac{d}{a+c+d} $$Ở đâu$a, b, c, d$là các số dương tùy ý.

Vấn đề 6   * ✓ đã xác minh* · 7m06s · Giải pháp →

hãy để$P$là một đa thức không đổi có hệ số nguyên. Nếu như$n(P)$là số các số nguyên phân biệt$k$như vậy$(P(k))^2 = 1$, chứng minh rằng$n(P) - \deg(P) \leq 2$, Ở đâu$\deg(P)$biểu thị bậc của đa thức$P$.